vec tơ hả ban

Do MQ và PN không song song với nhau nên \(\overrightarrow {MQ}  \ne k\overrightarrow {NP} \). Vậy loại B và D.

Ta có: \(\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {PQ} \)là hai vecto ngược hướng và \(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {PQ} } \right|\)

Suy ra \(\overrightarrow {MN}  =  - 2\overrightarrow {PQ} \)

Vậy chọn C.

Lời giải:
Xét tam giác $ABD$ có $MQ$ là đường trung bình ứng với cạnh $BD$

$\Rightarrow QM\parallel DB, \overline{MQ}=\frac{1}{2}\overline{BD}$

$\Rightarrow \overrightarrow{MQ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}(*)$

Tương tự:

$\overrightarrow{NP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}(**)$

Từ $(*); (**)\Rightarrow \overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MQ}$

Việc cm $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{NM}$ tương tự.

Hình vẽ:

\(\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AN}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\right)-\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\)

⇔ \(\overrightarrow{NP}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\right)=\dfrac{1}{2}.\overrightarrow{BD}\)

Tương tự có \(\overrightarrow{MQ}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BD}\) nên \(\overrightarrow{MQ}=\overrightarrow{NP}\)

Do \(\overrightarrow{MQ}=\overrightarrow{NP}\) nên \(\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{MP}\)

vậy \(\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{NM}\)

MQ là đường trung bình tam giác ABD \(\Rightarrow\overrightarrow{MQ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}\)

NP là đường trung bình tam giác CBD \(\Rightarrow\overrightarrow{NP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MQ}\)

Câu b đề sai, \(\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{NM}\) mới đúng

a)
MN là đường trung bình của tam giác ABC nên \(\overrightarrow{MN}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\).
QP là đường trung bình của tam giác ABC nên \(\overrightarrow{QP}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\).
Vậy \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{QP}\).
b) Giả sử:
\(\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MQ}\Leftrightarrow\overrightarrow{MP}-\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{MQ}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{QM}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\left(\overrightarrow{QM}+\overrightarrow{MP}\right)+\overrightarrow{NM}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{QP}+\overrightarrow{NM}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{QP}-\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{QP}-\overrightarrow{QP}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}\) ( Điều giả sử đúng).
Vậy \(\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MQ}.\)

a)

Kẻ BD.
Trong tam giác ABD có MQ là đường trung bình nên MQ//BD và \(MQ=\dfrac{1}{2}BD\). (1)
Trong tam giác CBD có PN là đường trung bình nên PN//BD và \(NP=\dfrac{1}{2}BD\). (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(\overrightarrow{MQ}=\overrightarrow{NP}\).
Kẻ AC.

Trong tam giác ABC có MN là đường trung bình suy ra:
NM//CA và \(NM=\dfrac{1}{2}CA\). (3)
Trong tam giác DAC có PQ là đường trung bình nên:
PQ//AC và \(PQ=\dfrac{1}{2}CA\). (4)
Từ (3) và (4) suy ra: \(\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{NM}\).

Do \(\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{DC}\); \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BA}\Rightarrow\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{AB}\).
Do tứ giác ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\).
Vì vậy \(\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MA}\) nên tứ giác NPAM là hình bình hành.
Vì vậy \(\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{NM}\). (1)
Mà \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{DA}\) suy ra \(\overrightarrow{NM}=\overrightarrow{AD}\) . (2)
Mặt khác \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\) (do tứ giác ABCD là hình bình hành). (3)
Từ (1);(2);(3) suy ra:\(\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{BC}\).
Mà \(\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{BC}\Rightarrow\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PA}\).
Vì vậy hai điểm A và Q trùng nhau nên \(\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{0}\).

Vận dụng tính chất giao hoán ta có: \[\overrightarrow u  = \overrightarrow {NP}  + \overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {NP}  = \overrightarrow {MP} \]

Chọn C.